Úvod V předchozím textu jsme viděli, že 1. derivace a derivace vyšších řádů zkoumají, nakolik je vyšetřovaná funkce podobná polynomu 1. stupně a polynomům vyšších stupňů. Je proto přirozené nahrazovat funkci polynomy a vyšetřovat praktickou použitelnost takových náhrad. Začneme od 1. stupně:
Příklad Určete přibližnou hodnotu sin(65°). Řešení: Bez tabulek, bez kalkulátoru a bez Google nám zbývá
pouze jediná cesta - odhad pomocí derivace:
0,86603 + 0,04363 = 0,90966
![]() Taylorův polynom Pokud má funkce více derivací než jednu, můžeme ji nahrazovat polynomem stupně vyššího než 1. a očekávat lepší přesnost než při použití vzorce (1):
Člen pro první derivaci f '(x0)
* (x - x0)
jsme zapsali "bohatěji", aby byl formálně shodný se
členy pro další derivace. Derivace Taylorova polynomu v
bodě x0 jsou shodné s derivacemi funkce f v
bodě x0. Můžeme se o tom přesvědčit
postupným derivováním T(x)
a dosazováním x = x0 do výsledných funkcí:
A protože derivace T jsou stejné jako derivace f, očekáváme, že T bude mít v okolí bodu x0 podobný průběh jako f. Pro funkci sin(x) v bodě x = 0 postupně vytvořte prvních 7 Taylorových polynomů. Řešení První dva Taylorovy polynomy v tomto bodě mají při podrobném rozepsání tvar:T1(x) = 0 + cos(0) * (x - 0) = 0 + 1 * x = x T2(x) = 0 + cos(0) * (x - 0) - sin(0) * (x - 0)2 = 0 + 1 * x - 0 * x2 = x Ostatní již nebudeme rozepisovat podrobně: T3(x) = x - x3/3! T4(x) = x - x3/3! T5(x) = x - x3/3! + x5/5! T6(x) = x - x3/3! + x5/5! T7(x) = x - x3/3! + x5/5! - x7/7! Členy sudého stupně jsou shodné se členy stupně předcházejícího, protože sudé derivace funkce sin(x) v bodě 0 jsou rovny 0. Na obrázku je funkce sin(x) nakreslena zeleně, grafy pro jednotlivé stupně Taylorova polynomu mají připsána čísla stupňů 1. - 7..
Příklad Pro funkci sin(x) v bodě x = π/4 postupně vytvořte prvních 7 Taylorových polynomů. Řešení
Taylorovy polynomy v tomto bodě proto mají tvar Na obrázku je funkce sin(x) nakreslena zeleně, grafy pro jednotlivé stupně Taylorova polynomu mají připojena čísla stupňů 1. - 7. (liché stupně jsou zakresleny tlustě, sudé tence).
Příklad Pro funkci ln(x) v bodě x = 1 postupně vytvořte prvních 6 Taylorových polynomů. Řešení
Taylorovy polynomy v tomto bodě proto mají tvar Na obrázku je funkce nakreslena zeleně, grafy pro jednotlivé stupně Taylorova polynomu mají připojena čísla stupňů 1. - 6. (liché stupně jsou zakresleny tlustě, sudé tence)
Odhad chyby Taylorova polynomu Za určitých okolností můžeme odhadnout chybu, které se
dopouštíme tím, že hodnotu funkce nahrazujeme hodnotou
jejího Taylorova polynomu.Slouží k tomu následující,
tzv. Jestliže:
Příklad Odhadněte největší možnou chybu vyčíslení funkce sin(31°) z Taylorova polynomu stupně 5 sestaveném v bodě 30°. Řešení
(π * 31 / 180) * (π * 1 / 180)6 / 720 < 2,2 * 10-14
Taylorova řada
Poznámka Taylorova řada je typem řady sestavené z mocnin. Tyto řady též nazýváme mocninné řady.
Příklad Sestavte Taylorovu řadu pro funkci sin(x) v bodě 0. Řešení Podle tabulek
derivací má funkce sin(x)
v bodě 0 derivace cos(0), -sin(0), -cos(0), sin(0),
...,
Příklad Sestavte Taylorovu řadu pro cos(x) v bodě 0. Řešení Podle tabulek
derivací má funkce cos(x)
v bodě 0 derivace -sin(0), -cos(0), sin(0), cos(0),
...,
Některé zajímavé číselné řady Po dosazení do některých Taylorových řad dostáváme zajímavé číselné řady, například:
Význam Taylorova rozvoje Taylorův rozvoj má pro matematiku principiální význam:
Funkci y = ex rozšíříme do komplexního oboru:
a že vyhovuje podmínce. Poznámka
Eulerova formule Funkci y = e(a + b*i)
z předchozího odstavce budeme vyšetřovat pouze pro ryze
imaginární argumenty, tedy ji zapíšeme do tvaru ei*x. ei*x = 1 + (i*x)
+ (i*x)2 / 2! + (i*x)3 / 3! +
(i*x)4 / 4! + (i*x)5 / 5! +
(i*x)6 / 6! ... Tyto dvě řady jsme již viděli v minulosti: jsou to Taylorovy řady funkcí cos(x) a sin(x) v bodě 0. Proto můžeme zapsat: Tento vzorec se jmenuje Eulerova formule. Matematici si ji velmi považují,
protože díky jí se do jednoho celku spojily funkce
exponenciální a goniometrické. Jejím důsledkem je
rovněž identita
spojující do jednoho výrazu základní matematické
konstanty.
|