<Předchozí><Nahoru><Další>

 
 
Taylorův rozvoj

Úvod

V předchozím textu jsme viděli, že 1. derivace a derivace vyšších řádů zkoumají, nakolik je vyšetřovaná funkce podobná polynomu 1. stupně a polynomům vyšších stupňů.

Je proto přirozené nahrazovat funkci polynomy a vyšetřovat praktickou použitelnost takových náhrad. Začneme od 1. stupně: 

  • Má-li funkce f v bodě x0 1. derivaci f '(x0), můžeme ji v okolí bodu x0 nahradit lineární funkcí neboli polynomem 1. stupně g takto:
  •          g(x) = f(x0) +  f '(x0) * (x - x0)                             Vzorec (1)
  • Derivace tohoto polynomu je ovšem všude rovna f '(x0), jelikož se jedná o lineární funkci.


Příklad

Určete přibližnou hodnotu sin(65°).

Řešení:

Bez tabulek, bez kalkulátoru a bez Google nám zbývá pouze jediná cesta - odhad pomocí derivace:

  • Víme, že sin(60°) = √3 / 2 ≈ 0.86603.
  • Derivace sin(60°)' = cos(60°) = 0,5.
  • S použitím přepočtu 1° = π / 180 dosadíme do vzorce (1):
  • sin(65°) = sin(60°) +  cos(60°) * (65° - 60°) =
              √3 / 2     + 0,5           * 5° * (π / 180) ≈
              0,86603 + 0,04363 = 0,90966
Posouzení výsledku:
    sin(60°)    
sin(65°)spočteno
sin(65°) podle kalkulátoru
Chyba výpočtu
0.86603 0,90966 0,90631 0,4 %
Chyba
0,4 % je velmi pěkný výsledek pro tak jednoduchý výpočet a 8 % změnu x.


Taylorův polynom

Pokud má funkce více derivací než jednu, můžeme ji nahrazovat polynomem stupně vyššího než 1. a očekávat lepší přesnost než při použití vzorce (1):

  • Je-li funkce f definovaná v nějakém okolí bodu x0 a
  • existují-li derivace f '(x0), ..., f k(x0)
  • můžeme sestrojit tzv. Taylorův polynom funkce f v bodě x0. Tento polynom má tvar:
T(x) = x0 + f
                  '(x0) * (x - x0) +....

Člen pro první derivaci f '(x0) * (x - x0) jsme zapsali "bohatěji", aby byl formálně shodný se členy pro další derivace.

Derivace Taylorova polynomu v bodě x0 jsou shodné s derivacemi funkce f v bodě x0.

Můžeme se o tom přesvědčit postupným derivováním T(x) a dosazováním x = x0 do výsledných funkcí:

  • Při každém derivování zmizí konstanta na počátku.
  • Na její místo se posune koeficient následujícího členu, což je ovšem derivace příslušného stupně.
  • Ostatní členy polynomu jsou nulové, protože (x - x0)n = 0 pro každé n 0.

A protože derivace T jsou stejné jako derivace f, očekáváme, že T bude mít v okolí bodu x0 podobný průběh jako f

Příklad

Pro funkci sin(x) v bodě x = 0 postupně vytvořte prvních 7 Taylorových polynomů. 

Řešení

První dva Taylorovy polynomy v tomto bodě mají při podrobném rozepsání tvar:
            T1(x) = 0 + cos(0) * (x - 0) = 0 + 1 * x = x
            T2(x) = 0 + cos(0) * (x - 0) - sin(0) * (x - 0)2 = 0 + 1 * x - 0 * x2 = x
Ostatní již nebudeme rozepisovat podrobně:
            T
3(x) = x - x3/3!
            T4(x) = x - x3/3!
            T5(x) = x - x3/3! + x5/5!
            T6(x) = x - x3/3! + x5/5!
            T7(x) = x - x3/3! + x5/5! - x7/7!
Členy sudého stupně jsou shodné se členy stupně předcházejícího, protože sudé derivace funkce sin(x) v bodě 0 jsou rovny 0.

Na obrázku je funkce sin(x) nakreslena zeleně, grafy pro jednotlivé stupně Taylorova polynomu mají připsána čísla stupňů 1. - 7..


Příklad

Pro funkci sin(x) v bodě x = π/4 postupně vytvořte prvních 7 Taylorových polynomů. 

Řešení

  • Hodnota sin(π/4) = √2/2
  • Hodnota sin'(π/4) = cos(π/4) = √2/2
  • Hodnota sin''(π/4) = cos'(π/4) = -sin(π/4) = -√2/2
  • Hodnota sin'''(π/4) = cos''(π/4) = -sin'(π/4) = -cos(π/4) = -√2/2
  • ...

Taylorovy polynomy v tomto bodě proto mají tvar 

T(x) = √2/2 * (1 + (x - π/4) - (x - π/4)2/2! + (x - π/4)3/3! - (x - π/4)4/4! + ... )

Na obrázku je funkce sin(x) nakreslena zeleně, grafy pro jednotlivé stupně Taylorova polynomu mají připojena čísla stupňů 1. - 7. (liché stupně jsou zakresleny tlustě, sudé tence).


Příklad

Pro funkci ln(x) v bodě x = 1 postupně vytvořte prvních 6 Taylorových polynomů. 

Řešení

  • Hodnota ln(1) = 0
  • Hodnota ln'(x) = 1 / x, tedy ln'(1) = 1
  • Hodnota ln''(x)) = (1 / x)' = - 1 / x2, tedy ln''(1) = -1
  • Hodnota ln'''(x) = (1 / x)'' = (- 1 / x2)' = 1 / x3, tedy ln'''(1) = 1
  • Hodnota ln''''(x) = (1 / x)''' = (- 1 / x2)'' = (1 / x3)' = - 1 / x4, tedy ln''''(1) = -1
  • ...

Taylorovy polynomy v tomto bodě proto mají tvar

T(x) = 0 + (x - 1) - (x - 1)2/2! + (x - 1)3/3! - (x - 1)4/4! + ...

Na obrázku je funkce nakreslena zeleně, grafy pro jednotlivé stupně Taylorova polynomu mají připojena čísla stupňů 1. - 6. (liché stupně jsou zakresleny tlustě, sudé tence)


Odhad chyby Taylorova polynomu

Za určitých okolností můžeme odhadnout chybu, které se dopouštíme tím, že hodnotu funkce nahrazujeme hodnotou jejího Taylorova polynomu.Slouží k tomu následující, tzv.

Taylorova věta

Jestliže:

  • Funkce f je definována v nějakém okolí bodu x0,
  • Její derivace existují na tomto okolí až do stupně k + 1,
  • Pro bod x z tohoto okolí nahrazujeme hodnotu f(x) hodnotou Taylorova polynomu Tk(x),
  • Potom chyba této náhrady je rovna výrazu f (k+1)(x0) * (c
                        - x0)(k+1) / (k+1)!,
  • kde c je číslo ležící mezi x0 a x.
Důkaz bude doplněn později


Příklad

Odhadněte největší možnou chybu vyčíslení funkce sin(31°) z Taylorova polynomu stupně 5 sestaveném v bodě 30°.

Řešení

  • Stačí, když se omezíme na interval <29°, 31°>.
  • Chyba je dána derivací v nějakém bodu c tohoto intervalu. Protože odhadujeme největší možnou chybu, budeme používat maximum této derivace.
  • 6. derivace funkce y = sin(x) je y(6)(x) = -sin(x), ta je na intervalu <29°, 31°> klesající, v absolutní hodnotě má maximum sin(31°).
  • Abychom sin(31°) nemuseli počítat, nahradíme je číslem 31° - to můžeme udělat, protože je známo že pro x > 0 je x > sin(x). 
  • Nyní máme připraveno vše pro dosazení do vzorce pro chybu Taylorova polynomu:
    • (31°) * (31° - 30°)6 / 6! =
      (π * 31 / 180) * (π * 1 / 180)6 / 720 < 2,2 * 10-14
  • Odpověď je, že největší možnou chyba při zadaném výpočtu je 2,2 * 10-14, tedy přesnost v bodě vzdáleném o je vynikající.



Taylorova řada
Věta
  • Pokud má funkce f všechny derivace, přechází Taylorův polynom v tzv. Taylorovu řadu, což je funkce s předpisem
  • Pokud na nějakém intervalu jsou všechny derivace funkce f omezené nějakým číslem, můžeme ji na takovém intervalu touto řadou přímo nahradit (tj. nedopustíme se přitom žádné chyby).
Důkaz bude doplněn později

Poznámka

Taylorova řada je typem řady sestavené z mocnin. Tyto řady též nazýváme mocninné řady.


Příklad

Sestavte Taylorovu řadu pro funkci sin(x) v bodě 0.

Řešení

Podle tabulek derivací má funkce sin(x) v bodě 0 derivace cos(0), -sin(0), -cos(0), sin(0), ...,
Taylorova řada tedy bude:

po dosazení sin(0) = 0 a cos(0) = 1 vyjde


Příklad

Sestavte Taylorovu řadu pro cos(x) v bodě 0.

Řešení

Podle tabulek derivací má funkce cos(x) v bodě 0 derivace -sin(0), -cos(0), sin(0), cos(0), ...,
Taylorova řada tedy bude:

po dosazení sin(0) = 0 a cos(0) = 1 vyjde


Některé zajímavé číselné řady

Po dosazení do některých Taylorových řad dostáváme zajímavé číselné řady, například:

  • 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 + ... = ln(2) = 0,693147...
  • 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 + ... = π / 4 = 0.785398...
  • 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... = e



Význam Taylorova rozvoje

Taylorův rozvoj má pro matematiku principiální význam:

  • Završuje základní výzkum funkcí započatý zkoumáním jejich limit
  • Umožňuje elementární funkce převádět na mocninné řady.
  • Pomocí těchto mocninných řad lze elementární funkce rozšiřovat do komplexního oboru.
Příklad

Funkci y = ex rozšíříme do komplexního oboru:
  • Funkce y = ex je definována pouze pro reálná x.
  • Proto pro komplexní číslo x = a + b*i její hodnotu y = e(a + b*i) vypočítat neumíme.
  • Abychom to dokázali, převedeme ji na mocninnou řadu:
    • Víme ale, že Taylorův rozvoj funkce y = ex v bodě 0 je
             T(x) = 1 + x + x2 / 2! + x3 / 3! + ...
      a že vyhovuje podmínce.
  • Nyní již můžeme přistoupit k rozšíření y = ex do komplexního oboru:
    • Takto získané hodnoty můžeme považovat za hodnoty y = e(a + b*i), protože rovněž vyhovují podmínce.

Poznámka

  • Při rozšíření do komplexního oboru bychom podobně mohli postupovat i pro funkci sin(x), jejíž Taylorův rozvoj v bodě 0 jsme odvodili výše.
  • A dále podobně pro funkci cos(x), jejíž Taylorův rozvoj v bodě 0 jsme rovněž odvodili výše.



Eulerova formule

Funkci y = e(a + b*i) z předchozího odstavce budeme vyšetřovat pouze pro ryze imaginární argumenty, tedy ji zapíšeme do tvaru ei*x.
Její Taylorova řada v bodě 0 bude:

ei*x = 1 + (i*x) + (i*x)2 / 2! + (i*x)3 / 3! + (i*x)4 / 4! + (i*x)5 / 5! + (i*x)6 / 6! ...

Vyčíslíme si několik jejích členů:

ei*x = 1 + (i*x)  - x2 / 2!        - i*x3 / 3!   + x4 / 4!       + i*x5 / 5!    - x6 / 6!  ...

Jestliže sdružíme k sobě sudé a liché mocniny
x, dostaneme součet dvou řad:
ei*x = (1 - x2 / 2! + x4 / 4! - x6 / 6! ... ) + i * (x   - x3 / 3!  + x5 / 5! ... )

Tyto dvě řady jsme již viděli v minulosti: jsou to Taylorovy řady funkcí cos(x) a sin(x) v bodě 0. Proto můžeme zapsat:

ei*x = cos(x) + i * sin(x).

Tento vzorec se jmenuje Eulerova formule. Matematici si ji velmi považují, protože díky jí se do jednoho celku spojily funkce exponenciální a goniometrické. Jejím důsledkem je rovněž identita spojující do jednoho výrazu základní matematické konstanty.
 
 
 
 
<Předchozí><Nahoru><Další>