V předchozím textu jsme viděli, že 1. derivace a derivace vyšších řádů zkoumají, nakolik je vyšetřovaná funkce podobná polynomu 1. stupně a polynomům vyšších stupňů.

Je proto přirozené nahrazovat funkci polynomy a vyšetřovat praktickou použitelnost takových náhrad. Začneme od 1. stupně: 

• Má-li funkce f v bodě x₀ 1. derivaci f '(x₀), můžeme ji v okolí bodu x₀ nahradit lineární funkcí neboli polynomem 1. stupně g takto:

•          g(x) = f(x₀) +  f '(x₀) * (x - x₀)                             Vzorec (1)

• Derivace tohoto polynomu je ovšem všude rovna f '(x₀), jelikož se jedná o lineární funkci.

Určete přibližnou hodnotu sin(65°).

Řešení:

Bez tabulek, bez kalkulátoru a bez Google nám zbývá pouze jediná cesta - odhad pomocí derivace:

• Víme, že sin(60°) = √3 / 2 ≈ 0.86603.
• Derivace sin(60°)' = cos(60°) = 0,5.
• S použitím přepočtu 1° = π / 180 dosadíme do vzorce (1):
sin(65°) = sin(60°) +  cos(60°) * (65° - 60°) =
        √3 / 2     + 0,5           * 5° * (π / 180) ≈
        0,86603 + 0,04363 = 0,90966

Pokud má funkce více derivací než jednu, můžeme ji nahrazovat polynomem stupně vyššího než 1. a očekávat lepší přesnost než při použití vzorce (1):

• Je-li funkce f definovaná v nějakém okolí bodu x₀ a
• existují-li derivace f '(x₀), ..., f ^k(x₀), 
• můžeme sestrojit tzv. Taylorův polynom funkce f v bodě x₀. Tento polynom má tvar:

Člen pro první derivaci f '(x₀) * (x - x₀) jsme zapsali "bohatěji", aby byl formálně shodný se členy pro další derivace.

Derivace Taylorova polynomu v bodě x₀ jsou shodné s derivacemi funkce f v bodě x₀.

Můžeme se o tom přesvědčit postupným derivováním T(x) a dosazováním x = x₀ do výsledných funkcí:

• Při každém derivování zmizí konstanta na počátku.
• Na její místo se posune koeficient následujícího členu, což je ovšem derivace příslušného stupně.
• Ostatní členy polynomu jsou nulové, protože (x - x₀)ⁿ = 0 pro každé n ≥ 0.
  

A protože derivace T jsou stejné jako derivace f, očekáváme, že T bude mít v okolí bodu x₀ podobný průběh jako f. 

Příklad

Pro funkci sin(x) v bodě x = 0 postupně vytvořte prvních 7 Taylorových polynomů. 

Řešení

Na obrázku je funkce sin(x) nakreslena zeleně, grafy pro jednotlivé stupně Taylorova polynomu mají připsána čísla stupňů 1. - 7..

Pro funkci sin(x) v bodě x = π/4 postupně vytvořte prvních 7 Taylorových polynomů. 

Řešení

• Hodnota sin(π/4) = √2/2
• Hodnota sin'(π/4) = cos(π/4) = √2/2
• Hodnota sin''(π/4) = cos'(π/4) = -sin(π/4) = -√2/2
• Hodnota sin'''(π/4) = cos''(π/4) = -sin'(π/4) = -cos(π/4) = -√2/2
• ...
  

Taylorovy polynomy v tomto bodě proto mají tvar 

Na obrázku je funkce sin(x) nakreslena zeleně, grafy pro jednotlivé stupně Taylorova polynomu mají připojena čísla stupňů 1. - 7. (liché stupně jsou zakresleny tlustě, sudé tence).

Pro funkci ln(x) v bodě x = 1 postupně vytvořte prvních 6 Taylorových polynomů. 

Řešení

• Hodnota ln(1) = 0
• Hodnota ln'(x) = 1 / x, tedy ln'(1) = 1
  
• Hodnota ln''(x)) = (1 / x)' = - 1 / x², tedy ln''(1) = -1
• Hodnota ln'''(x) = (1 / x)'' = (- 1 / x²)' = 1 / x³, tedy ln'''(1) = 1
• Hodnota ln''''(x) = (1 / x)''' = (- 1 / x²)'' = (1 / x³)' = - 1 / x⁴, tedy ln''''(1) = -1
• ...

Taylorovy polynomy v tomto bodě proto mají tvar

Na obrázku je funkce nakreslena zeleně, grafy pro jednotlivé stupně Taylorova polynomu mají připojena čísla stupňů 1. - 6. (liché stupně jsou zakresleny tlustě, sudé tence)

Za určitých okolností můžeme odhadnout chybu, které se dopouštíme tím, že hodnotu funkce nahrazujeme hodnotou jejího Taylorova polynomu.Slouží k tomu následující, tzv.

Taylorova věta

Jestliže:

• Funkce f je definována v nějakém okolí bodu x₀,
• Její derivace existují na tomto okolí až do stupně k + 1,
• Pro bod x z tohoto okolí nahrazujeme hodnotu f(x) hodnotou Taylorova polynomu T_k(x),
• Potom chyba této náhrady je rovna výrazu ,
kde c je číslo ležící mezi x₀ a x.

Odhadněte největší možnou chybu vyčíslení funkce sin(31°) z Taylorova polynomu stupně 5 sestaveném v bodě 30°.

Řešení

• Stačí, když se omezíme na interval <29°, 31°>.
• Chyba je dána derivací v nějakém bodu c tohoto intervalu. Protože odhadujeme největší možnou chybu, budeme používat maximum této derivace.
• 6. derivace funkce y = sin(x) je y⁽⁶⁾(x) = -sin(x), ta je na intervalu <29°, 31°> klesající, v absolutní hodnotě má maximum sin(31°).
• Abychom sin(31°) nemuseli počítat, nahradíme je číslem 31° - to můžeme udělat, protože je známo že pro x > 0 je x > sin(x). 
• Nyní máme připraveno vše pro dosazení do vzorce pro chybu Taylorova polynomu:
(31°) * (31° - 30°)⁶ / 6! =
(π * 31 / 180) * (π * 1 / 180)⁶ / 720 < 2,2 * 10^-14
• Odpověď je, že největší možnou chyba při zadaném výpočtu je 2,2 * 10^-14, tedy přesnost v bodě vzdáleném o 1° je vynikající.

• Pokud má funkce f všechny derivace, přechází Taylorův polynom v tzv. Taylorovu řadu, což je funkce s předpisem

• Pokud na nějakém intervalu jsou všechny derivace funkce f omezené nějakým číslem, můžeme ji na takovém intervalu touto řadou přímo nahradit (tj. nedopustíme se přitom žádné chyby).

Sestavte Taylorovu řadu pro funkci sin(x) v bodě 0.

Řešení

Podle tabulek derivací má funkce sin(x) v bodě 0 derivace cos(0), -sin(0), -cos(0), sin(0), ...,
Taylorova řada tedy bude:

Sestavte Taylorovu řadu pro cos(x) v bodě 0.

Řešení

Podle tabulek derivací má funkce cos(x) v bodě 0 derivace -sin(0), -cos(0), sin(0), cos(0), ...,
Taylorova řada tedy bude:

Po dosazení do některých Taylorových řad dostáváme zajímavé číselné řady, například:

• 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 + ... = ln(2) = 0,693147...
• 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 + ... = π / 4 = 0.785398...
• 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... = e

Taylorův rozvoj má pro matematiku principiální význam:

• Završuje základní výzkum funkcí započatý zkoumáním jejich limit. 
• Umožňuje elementární funkce převádět na mocninné řady.
• Pomocí těchto mocninných řad lze elementární funkce rozšiřovat do komplexního oboru.

• Funkce y = e^x je definována pouze pro reálná x.
• Proto pro komplexní číslo x = a + b*i její hodnotu y = e^{(a + b*i)} vypočítat neumíme.
• Abychom to dokázali, převedeme ji na mocninnou řadu:
• Víme ale, že Taylorův rozvoj funkce y = e^x v bodě 0 je
  
       T(x) = 1 + x + x² / 2! + x³ / 3! + ...
a že vyhovuje podmínce.
• Nyní již můžeme přistoupit k rozšíření y = e^x do komplexního oboru:
• Komplexní čísla umíme sčítat i mocnit celým číslem, proto do tohoto rozvoje smíme dosazovat komplexní čísla x = a + b*i.
  
• Takto získané hodnoty můžeme považovat za hodnoty y = e^{(a + b*i)}, protože rovněž vyhovují podmínce.

Poznámka

• Při rozšíření do komplexního oboru bychom podobně mohli postupovat i pro funkci sin(x), jejíž Taylorův rozvoj v bodě 0 jsme odvodili výše.
  
• A dále podobně pro funkci cos(x), jejíž Taylorův rozvoj v bodě 0 jsme rovněž odvodili výše.

Funkci y = e^{(a + b*i)} z předchozího odstavce budeme vyšetřovat pouze pro ryze imaginární argumenty, tedy ji zapíšeme do tvaru e^i*x.
Její Taylorova řada v bodě 0 bude:

e^i*x = 1 + (i*x) + (i*x)² / 2! + (i*x)³ / 3! + (i*x)⁴ / 4! + (i*x)⁵ / 5! + (i*x)⁶ / 6! ...

Vyčíslíme si několik jejích členů:
e^i*x = 1 + (i*x)  - x² / 2!        - i*x³ / 3!   + x⁴ / 4!       + i*x⁵ / 5!    - x⁶ / 6!  ...

Jestliže sdružíme k sobě sudé a liché mocniny x, dostaneme součet dvou řad:
e^i*x = (1 - x² / 2! + x⁴ / 4! - x⁶ / 6! ... ) + i * (x   - x³ / 3!  + x⁵ / 5! ... )

Tyto dvě řady jsme již viděli v minulosti: jsou to Taylorovy řady funkcí cos(x) a sin(x) v bodě 0. Proto můžeme zapsat:

Tento vzorec se jmenuje Eulerova formule. Matematici si ji velmi považují, protože díky jí se do jednoho celku spojily funkce exponenciální a goniometrické. Jejím důsledkem je rovněž identita spojující do jednoho výrazu základní matematické konstanty.
 
 
 
 

<Předchozí>

<Nahoru>

<Další>